Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$ .

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перегруппируем члены.

$10 x^{3} - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3} - 130 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $- 130 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (x^{2}) + 10 x (- 13)$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 {(x^{2})}^{2} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Этап 1.2.2.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Этап 1.2.2.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 11 \cdot 13 = 143$ , а сумма — $b = - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1.1

Вынесем множитель $- 144$ из $- 144 u$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Этап 1.2.2.5.1.2

Запишем $- 144$ как $- 1$ плюс $- 143$

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} + (- 1 - 143) u + 13 = 0$

Этап 1.2.2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Этап 1.2.2.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Этап 1.2.2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$10 x (x^{2} - 13) + u (11 u - 1) - 13 (11 u - 1) = 0$

Этап 1.2.2.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $11 u - 1$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 u - 1) (u - 13) = 0$

Этап 1.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Этап 1.2.2.7

Вынесем множитель $x^{2} - 13$ из $10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 13$ из $10 x (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Этап 1.2.2.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 13$ из $(11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.2.2.7.3

Вынесем множитель $x^{2} - 13$ из $(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x + 11 x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.2.2.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 13) (10 u + 11 u^{2} - 1) = 0$

Этап 1.2.2.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 u - 1) = 0$

Этап 1.2.2.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 11 \cdot - 1 = - 11$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10 u$ .

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 (u) - 1) = 0$

Этап 1.2.2.9.2.2

Запишем $10$ как $- 1$ плюс $11$

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + (- 1 + 11) u - 1) = 0$

Этап 1.2.2.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} - 1 u + 11 u - 1) = 0$

Этап 1.2.2.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} - 13) ((11 u^{2} - 1 u) + 11 u - 1) = 0$

Этап 1.2.2.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} - 13) (u (11 u - 1) + 1 (11 u - 1)) = 0$

Этап 1.2.2.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $11 u - 1$ .

$(x^{2} - 13) ((11 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 1.2.2.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 13) ((11 x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 1.2.2.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

$11 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{2} - 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{2} - 13$ к $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{2} - 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 13$

Этап 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{13}$

Этап 1.2.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{13}$

Этап 1.2.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{13}$

Этап 1.2.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Этап 1.2.5

Приравняем $11 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $11 x - 1$ к $0$ .

$11 x - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $11 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$11 x = 1$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $11 x = 1$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $11 x = 1$ на $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{11}$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}, \frac{1}{11}, - 1$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5

Упростим $11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 11 \cdot 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $11$ на $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $10$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5.1.6

Умножим $- 144$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Этап 2.2.5.1.7

Умножим $- 130$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 13$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 13$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 13$

Этап 2.2.5.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 13$

Этап 2.2.5.2.4

Добавим $0$ и $13$ .

$y = 13$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 13)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 13)$

Этап 4