Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 5$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5}{x - 5}$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

	$1$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$
	$1$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$
	$1$	$2$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$
	$1$	$2$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$
	$1$	$2$	$8$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(40)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$
	$1$	$2$	$8$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$
	$1$	$2$	$8$	$43$

Этап 2.9

Умножим последний элемент в области результата $(43)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(215)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$	$215$
	$1$	$2$	$8$	$43$

Этап 2.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$	$215$
	$1$	$2$	$8$	$43$	$210$

Этап 2.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (8) x + 43 + \frac{210}{x - 5}$

Этап 2.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 43 + \frac{210}{x - 5}$

Этап 3

Поскольку $5 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $5$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $5$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 5}$ при $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

	$1$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$
	$1$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$
	$1$	$- 8$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(40)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$
	$1$	$- 8$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$
	$1$	$- 8$	$38$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(38)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 190)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$
	$1$	$- 8$	$38$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$
	$1$	$- 8$	$38$	$- 187$

Этап 4.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 187)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(935)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$	$935$
	$1$	$- 8$	$38$	$- 187$

Этап 4.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$	$935$
	$1$	$- 8$	$38$	$- 187$	$930$

Этап 4.11

$1 x^{3} + - 8 x^{2} + (38) x - 187 + \frac{930}{x + 5}$

Этап 4.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 8 x^{2} + 38 x - 187 + \frac{930}{x + 5}$

Этап 5

Поскольку $- 5 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 5$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 5$

Этап 6

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхняя граница: $5$

Нижняя граница: $- 5$

Этап 7