Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 1$ , $\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Этап 1

Каждый член в $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 1$ умножим на $xy$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 1$ на $xy$ .

$\frac{2}{x} \cdot (x y) - \frac{3}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $xy$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Этап 1.2.1.2

Объединим $xy$ и $\frac{3}{y}$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{x y \cdot 3}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Этап 1.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $xy$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $xy$ на $1$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$ умножим на $xy$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$ на $xy$ .

$\frac{4}{x} \cdot (x y) + \frac{7}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $\frac{4}{x}$ и $xy$ .

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Этап 2.2.1.2

Объединим $\frac{7}{y}$ и $xy$ .

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $xy$ на $1$ .

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Этап 3.1.1.1.2

Разделим $2 y$ на $1$ .

$2 y - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$2 y - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Этап 3.1.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 y - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Этап 3.1.1.2.2

Разделим $3 x$ на $1$ .

$2 y - (3 x) = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$2 y - (3 x) = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Этап 3.1.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 y - 3 x = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$2 y - 3 x = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Этап 3.1.2

Изменим порядок $2 y$ и $- 3 x$ .

$- 3 x + 2 y = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Этап 4.1.1.1.2

Разделим $4 y$ на $1$ .

$4 y + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$4 y + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 y + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Этап 4.1.1.2.2

Разделим $7 x$ на $1$ .

$4 y + 7 x = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$4 y + 7 x = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$4 y + 7 x = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Этап 4.1.2

Изменим порядок $4 y$ и $7 x$ .

$7 x + 4 y = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$7 x + 4 y = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$7 x + 4 y = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Этап 5

Перенесем все члены с переменными в левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x + 2 y - x y = 0, 7 x + 4 y = x y$

Этап 5.2

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x + 2 y - x y = 0, 7 x + 4 y - x y = 0$

Этап 6

Упорядочим многочлен.

$- x y - 3 x + 2 y = 0$

$7 x + 4 y - x y = 0$

Этап 7

Упорядочим многочлен.

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$- x y - 3 x + 2 y = 0$

Этап 8

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $y$ противоположными.

$(- 1) \cdot (- x y - 3 x + 2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $(- 1) \cdot (- x y - 3 x + 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 (- x y) - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 9.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Умножим $- 1 (- x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (x y) - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 9.1.1.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x y - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 9.1.1.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x y + 3 x - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 9.1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x y + 3 x - 2 y = 0$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = 0$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = 0$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Этап 10

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

$x$

$y$

$x$

$y$

$+$

$3$

$x$

$+$

$3$

$x$

$-$

$2$

$y$

$-$

$2$

$y$

$=$

$0$

$+$

$-$

$x$

$y$

$+$

$7$

$x$

$-$

$x$

$y$

$+$

$7$

$x$

$-$

$x$

$y$

$+$

$4$

$y$

$=$

$0$

$1$

$0$

$x$

$+$

$2$

$y$

$=$

$0$

Этап 11

Упростим уравнение и решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$10 x = - 2 y$

Этап 11.2

Разделим каждый член $10 x = - 2 y$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разделим каждый член $10 x = - 2 y$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 2 y}{10}$

Этап 11.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 2 y}{10}$

Этап 11.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{10}$

Этап 11.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{10}$

Этап 11.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (5)}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 5}$

Этап 11.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- y}{5}$

Этап 11.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{5}$

Этап 12

Подставим найденное значение $x$ в одно из исходных уравнений, а затем решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Подставим найденное значение $x$ в одно из исходных уравнений, чтобы решить его относительно $y$ .

$(- \frac{y}{5}) \cdot y + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Этап 12.2

Упростим $(- \frac{y}{5}) \cdot y + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $(- \frac{y}{5}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Объединим $y$ и $\frac{y}{5}$ .

$- \frac{y \cdot y}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- \frac{y^{1} y}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.1.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- \frac{y^{1} y^{1}}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{y^{1 + 1}}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{y^{2}}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.2

Умножим $3 (- \frac{y}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{y^{2}}{5} - 3 \frac{y}{5} - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{y}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 3 y}{5} - 2 y = 0$

Этап 12.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y^{2}}{5} - \frac{3 y}{5} - 2 y = 0$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- 2 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} - \frac{3 y}{5} - 2 y \cdot \frac{5}{5} = 0$

Этап 12.2.3

Объединим $- 2 y$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} - \frac{3 y}{5} + \frac{- 2 y \cdot 5}{5} = 0$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 3 y - 2 y \cdot 5}{5} = 0$

Этап 12.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- y^{2} - 3 y - 2 y \cdot 5}{5} = 0$

Этап 12.2.6

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{- y^{2} - 3 y - 10 y}{5} = 0$

Этап 12.2.7

Вычтем $10 y$ из $- 3 y$ .

$\frac{- y^{2} - 13 y}{5} = 0$

Этап 12.2.8

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} - 13 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.8.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) - 13 y}{5} = 0$

Этап 12.2.8.2

Вынесем множитель $y$ из $- 13 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot - 13}{5} = 0$

Этап 12.2.8.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y) + y \cdot - 13$ .

$\frac{y (- y - 13)}{5} = 0$

Этап 12.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{y (- (y) - 13)}{5} = 0$

Этап 12.2.10

Перепишем $- 13$ в виде $- 1 (13)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (13))}{5} = 0$

Этап 12.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (13)$ .

$\frac{y (- (y + 13))}{5} = 0$

Этап 12.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.12.1

Перепишем $- (y + 13)$ в виде $- 1 (y + 13)$ .

$\frac{y (- 1 (y + 13))}{5} = 0$

Этап 12.2.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y (y + 13)}{5} = 0$

Этап 12.3

Приравняем числитель к нулю.

$y (y + 13) = 0$

Этап 12.4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y + 13 = 0$

Этап 12.4.2

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 12.4.3

Приравняем $y + 13$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Приравняем $y + 13$ к $0$ .

$y + 13 = 0$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$y = - 13$

Этап 12.4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (y + 13) = 0$ верно.

$y = 0, - 13$

Этап 13

Решение независимой системы уравнений может быть представлено в виде точки.

$(- \frac{y}{5}, 0, - 13)$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(- \frac{y}{5}, 0, - 13)$

Форма уравнения:

$x = - \frac{y}{5}, y = 0, z = - 13$

Этап 15