Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ в виде уравнения.

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y + \frac{1}{3} = x$ .

$2 y + \frac{1}{3} = x$

Этап 3.2

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 y = x - \frac{1}{3}$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 y = x - \frac{1}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 y = x - \frac{1}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ обратной к $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3.1.2

Объединим $2 x$ и $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $\frac{6 x + 1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $6 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6}$ в числитель.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ — обратная к $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$