Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{6}{\sqrt{y}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{6}{\sqrt{y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{y}} = x$

Этап 3.2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$x \cdot (\sqrt{y}) = 6$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $x$ на $\sqrt{y}$ .

$x \sqrt{y} = 6$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(x \sqrt{y})}^{2} = 6^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} y^{1} = 6^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Упростим.

$x^{2} y = 6^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x^{2} y = 36$

Этап 3.5

Разделим каждый член $x^{2} y = 36$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $x^{2} y = 36$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ обратной к $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 5.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 5.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 5.2.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 5.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Этап 5.2.3.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{36}{x^{2}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Этап 5.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ — обратная к $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$