Основы мат. анализа Примеры

$| 4 - 3 x | - 2 < 4$

Этап 1

Запишем $| 4 - 3 x | - 2 < 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$4 - 3 x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x \geq - 4$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 3 x \geq - 4$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x \geq - 4$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} \leq \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} \leq \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{4}{3}$

Этап 1.3

В части, где $4 - 3 x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$4 - 3 x - 2 < 4$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$4 - 3 x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x < - 4$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- 3 x < - 4$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- 3 x < - 4$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x > \frac{4}{3}$

Этап 1.6

В части, где $4 - 3 x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (4 - 3 x) - 2 < 4$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 4 - 3 x - 2 < 4 & x \leq \frac{4}{3} \\ - (4 - 3 x) - 2 < 4 & x > \frac{4}{3} \end{cases}$

Этап 1.8

Вычтем $2$ из $4$ .

${\begin{cases} - 3 x + 2 < 4 & x \leq \frac{4}{3} \\ - (4 - 3 x) - 2 < 4 & x > \frac{4}{3} \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $- (4 - 3 x) - 2 < 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} - 3 x + 2 < 4 & x \leq \frac{4}{3} \\ - 1 \cdot 4 - (- 3 x) - 2 < 4 & x > \frac{4}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${\begin{cases} - 3 x + 2 < 4 & x \leq \frac{4}{3} \\ - 4 - (- 3 x) - 2 < 4 & x > \frac{4}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

${\begin{cases} - 3 x + 2 < 4 & x \leq \frac{4}{3} \\ - 4 + 3 x - 2 < 4 & x > \frac{4}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.2

Вычтем $2$ из $- 4$ .

${\begin{cases} - 3 x + 2 < 4 & x \leq \frac{4}{3} \\ 3 x - 6 < 4 & x > \frac{4}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $- 3 x + 2 < 4$ , когда $x \leq \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $- 3 x + 2 < 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x < 4 - 2$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$- 3 x < 2$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- 3 x < 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 x < 2$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{2}{- 3}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{2}{- 3}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{2}{- 3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x > - \frac{2}{3}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > - \frac{2}{3}$ и $x \leq \frac{4}{3}$ .

$- \frac{2}{3} < x \leq \frac{4}{3}$

Этап 3

Решим $3 x - 6 < 4$ , когда $x > \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $3 x - 6 < 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Добавим $6$ к обеим частям неравенства.

$3 x < 4 + 6$

Этап 3.1.1.2

Добавим $4$ и $6$ .

$3 x < 10$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $3 x < 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $3 x < 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{10}{3}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} < \frac{10}{3}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{10}{3}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{10}{3}$ и $x > \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} < x < \frac{10}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{2}{3} < x < \frac{10}{3}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{2}{3}, \frac{10}{3})$

Этап 6