Основы мат. анализа Примеры

$18 x^{4} - 15 x^{3} + 14 x^{2} - 20 x + 8$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $18 x^{4} - 15 x^{3} + 14 x^{2} - 20 x + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 8, \pm 0.\overline{4}, \pm 4, \pm 0.\overline{8}, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

Этап 1.1.3

Подставим $0.\overline{6}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{6}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $0.\overline{6}$ в многочлен.

$18 \cdot {0.\overline{6}}^{4} - 15 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + 14 \cdot {0.\overline{6}}^{2} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.2

Возведем $0.\overline{6}$ в степень $4$ .

$18 \cdot 0.19753086 - 15 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + 14 \cdot {0.\overline{6}}^{2} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.3

Умножим $18$ на $0.19753086$ .

$3.\overline{5} - 15 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + 14 \cdot {0.\overline{6}}^{2} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.4

Возведем $0.\overline{6}$ в степень $3$ .

$3.\overline{5} - 15 \cdot 0.\overline{296} + 14 \cdot {0.\overline{6}}^{2} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 15$ на $0.\overline{296}$ .

$3.\overline{5} - 4.\overline{4} + 14 \cdot {0.\overline{6}}^{2} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.6

Вычтем $4.\overline{4}$ из $3.\overline{5}$ .

$- 0.\overline{8} + 14 \cdot {0.\overline{6}}^{2} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.7

Возведем $0.\overline{6}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{8} + 14 \cdot 0.\overline{4} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.8

Умножим $14$ на $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} + 6.22222222 - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.9

Добавим $- 0.\overline{8}$ и $6.22222222$ .

$5.\overline{3} - 20 \cdot 0.\overline{6} + 8$

Этап 1.1.3.10

Умножим $- 20$ на $0.\overline{6}$ .

$5.\overline{3} - 13.\overline{3} + 8$

Этап 1.1.3.11

Вычтем $13.\overline{3}$ из $5.\overline{3}$ .

$- 8 + 8$

Этап 1.1.3.12

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $0.\overline{6}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{18 x^{4} - 15 x^{3} + 14 x^{2} - 20 x + 8}{3 x - 2}$

Этап 1.1.5

Разделим $18 x^{4} - 15 x^{3} + 14 x^{2} - 20 x + 8$ на $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$6 x^{3}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$6 x^{3}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x^{4} - 12 x^{3}$ .

$6 x^{3}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$6 x^{3}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$6 x^{3}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} - 8 x$ .

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Этап 1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$8$

Этап 1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$8$

Этап 1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$8$

$12 x$

$8$

Этап 1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 8$ .

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$8$

$12 x$

$8$

Этап 1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x$

$2$

$18 x^{4}$

$15 x^{3}$

$14 x^{2}$

$20 x$

$8$

$18 x^{4}$

$12 x^{3}$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$12 x^{2}$

$20 x$

$12 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$8$

$12 x$

$8$

$0$

Этап 1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$

Этап 1.1.6

Запишем $18 x^{4} - 15 x^{3} + 14 x^{2} - 20 x + 8$ в виде набора множителей.

$(3 x - 2) (6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Этап 1.2

Разложим $6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{6}, \pm 2, \pm 1.\overline{3}$

Этап 1.2.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Подставим $0.\overline{6}$ в многочлен.

$6 \cdot {0.\overline{6}}^{3} - {0.\overline{6}}^{2} + 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.2

Возведем $0.\overline{6}$ в степень $3$ .

$6 \cdot 0.\overline{296} - {0.\overline{6}}^{2} + 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.3

Умножим $6$ на $0.\overline{296}$ .

$1.\overline{7} - {0.\overline{6}}^{2} + 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.4

Возведем $0.\overline{6}$ в степень $2$ .

$1.\overline{7} - 1 \cdot 0.\overline{4} + 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.5

Умножим $- 1$ на $0.\overline{4}$ .

$1.\overline{7} - 0.\overline{4} + 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.6

Вычтем $0.\overline{4}$ из $1.\overline{7}$ .

$1.\overline{3} + 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.7

Умножим $4$ на $0.\overline{6}$ .

$1.\overline{3} + 2.\overline{6} - 4$

Этап 1.2.1.3.8

Добавим $1.\overline{3}$ и $2.\overline{6}$ .

$4 - 4$

Этап 1.2.1.3.9

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 1.2.1.4

$\frac{6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4}{3 x - 2}$

Этап 1.2.1.5

Разделим $6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ на $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

$3 x$

$2$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

Этап 1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$2 x^{2}$
	$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$

Этап 1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			+	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$6 x$

Этап 1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$6 x$	-	$4$

Этап 1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$6 x$	-	$4$

Этап 1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$6 x$	-	$4$
							+	$6 x$	-	$4$

Этап 1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x - 4$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$6 x$	-	$4$
							-	$6 x$	+	$4$

Этап 1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$3 x$	-	$2$		$6 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$6 x$	-	$4$
							-	$6 x$	+	$4$
										$0$

Этап 1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + x + 2$

Этап 1.2.1.6

Запишем $6 x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ в виде набора множителей.

$(3 x - 2) ((3 x - 2) (2 x^{2} + x + 2)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 2) (3 x - 2) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 1.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведем $3 x - 2$ в степень $1$ .

$(3 x - 2) (3 x - 2) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 1.3.2

Возведем $3 x - 2$ в степень $1$ .

$(3 x - 2) (3 x - 2) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(3 x - 2)}^{1 + 1} (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(3 x - 2)}^{2} (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 3

Приравняем ${(3 x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем ${(3 x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим ${(3 x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 3.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 4

Приравняем $2 x^{2} + x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x^{2} + x + 2$ к $0$ .

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x^{2} + x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{15})}{4}$

Этап 4.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{15})}{4}$

Этап 4.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{15})}{4}$

Этап 4.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{15})}{4}$

Этап 4.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(3 x - 2)}^{2} (2 x^{2} + x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 6