Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$\frac{4}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Этап 1.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{4}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{4}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{4}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$4 = \frac{A (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 3)$ на $1$ .

$4 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.7.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$4 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$4 = A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (2 x + 1)$ на $1$ .

$4 = A x - 3 A + (B) (2 x + 1)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 1$

Этап 1.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 1$

Этап 1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $B$ .

$4 = A x - 3 A + 2 x B + B$

Этап 1.8.2

Перенесем $- 3 A$ .

$4 = A x + 2 x B - 3 A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = - 3 A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$4 = - 3 A + B$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $4 = - 3 A + B$ на $- 2 B$ .

$4 = - 3 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 3 (- 2 B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$4 = 6 B + B$

$A = - 2 B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $6 B$ и $B$ .

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $4 = 7 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $7 B = 4$ .

$7 B = 4$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $7 B = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $7 B = 4$ на $7$ .

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{4}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - 2 B$ на $\frac{4}{7}$ .

$A = - 2 (\frac{4}{7})$

$B = \frac{4}{7}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 2 (\frac{4}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 2 (\frac{4}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{7}$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 4}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{8}{7}, B = \frac{4}{7}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{8}{7}}{2 x + 1} + \frac{\frac{4}{7}}{x - 3}$