Основы мат. анализа Примеры

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $- 54 x + 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок $- 54 x$ и $9 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 54 x$

Этап 1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Этап 1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $- 54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Этап 1.1.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 27}{9}$

Этап 1.1.4.2.2

Сократим общий множитель $- 27$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Этап 1.1.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Этап 1.1.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 1.1.4.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Возведем $- 54$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Этап 1.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Этап 1.1.5.2.1.3

Разделим $2916$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Этап 1.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $81$ .

$e = 0 - 81$

Этап 1.1.5.2.2

Вычтем $81$ из $0$ .

$e = - 81$

Этап 1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Этап 1.2

Подставим $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ вместо $- 54 x + 9 x^{2}$ в уравнение $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Этап 1.3

Перенесем $- 81$ в правую часть уравнения, прибавив $81$ к обеим частям.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Этап 1.4

Добавим $63$ и $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Этап 1.5

Разделим каждый член на $144$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Этап 1.6

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Этап 5.2

Упростим $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ и $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Этап 5.2.4

Умножим $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Этап 5.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ и $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Этап 6.2.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Этап 6.2.4

Умножим $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Этап 6.2.4.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Этап 6.2.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 6.2.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ и $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 9