Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 5.1.5

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Этап 6

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{8} + π (0)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{8} + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $\frac{π}{8}$ и $0$ .

$\frac{π}{8}$

Этап 8.1.3

Интервал $[0, 2 π]$ содержит $\frac{π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 8.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{7 π}{8} + 0$

Этап 8.2.2.2

Добавим $\frac{7 π}{8}$ и $0$ .

$\frac{7 π}{8}$

Этап 8.2.3

Интервал $[0, 2 π]$ содержит $\frac{7 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

Этап 8.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{8} + π (1)$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{8} + π$

Этап 8.3.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Этап 8.3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Этап 8.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

Этап 8.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

Этап 8.3.2.4.2

Добавим $π$ и $8 π$ .

$\frac{9 π}{8}$

Этап 8.3.3

Интервал $[0, 2 π]$ содержит $\frac{9 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

Этап 8.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

Этап 8.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{7 π}{8} + π$

Этап 8.4.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Этап 8.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Этап 8.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

Этап 8.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.4.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

Этап 8.4.2.4.2

Добавим $7 π$ и $8 π$ .

$\frac{15 π}{8}$

Этап 8.4.3

Интервал $[0, 2 π]$ содержит $\frac{15 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$