Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ умножим на $(x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Этап 3.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Этап 3.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.2.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.2.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.2.3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.2.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Этап 3.2.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Этап 3.2.3.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Этап 3.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Этап 3.2.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Этап 3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Этап 3.3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x - 3 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Изменим порядок $8 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.2.1.1.2

Запишем $- 8$ как $1$ плюс $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Этап 3.3.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Этап 3.3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 3.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.3.5

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 3.3.5.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 3.3.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 3.3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ истинным.

$x = 3$