Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}} < 11$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}}}^{2} < 11^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}}$ в виде ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{2}}$ .

${({(2 x + 5)}^{\frac{2}{2}})}^{2} < 11^{2}$

Этап 2.2

Разделим $2$ на $2$ .

${({(2 x + 5)}^{1})}^{2} < 11^{2}$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 5)}^{1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{1 \cdot 2} < 11^{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

${(2 x + 5)}^{2} < 11^{2}$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

${(2 x + 5)}^{2} < 121$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}} < \sqrt{121}$

Этап 3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 2 x + 5 | < \sqrt{121}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\sqrt{121}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$| 2 x + 5 | < \sqrt{11^{2}}$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 2 x + 5 | < | 11 |$

Этап 3.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $11$ равно $11$ .

$| 2 x + 5 | < 11$

Этап 3.3

Запишем $| 2 x + 5 | < 11$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$2 x + 5 \geq 0$

Этап 3.3.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 5$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{5}{2}$

Этап 3.3.3

В части, где $2 x + 5$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$2 x + 5 < 11$

Этап 3.3.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$2 x + 5 < 0$

Этап 3.3.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$2 x < - 5$

Этап 3.3.5.2

Разделим каждый член $2 x < - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Разделим каждый член $2 x < - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{5}{2}$

Этап 3.3.6

В части, где $2 x + 5$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (2 x + 5) < 11$

Этап 3.3.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - (2 x + 5) < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 3.3.8

Упростим $- (2 x + 5) < 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - (2 x) - 1 \cdot 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 3.3.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - 2 x - 1 \cdot 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - 2 x - 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 3.4

Решим $2 x + 5 < 11$ , когда $x \geq - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Решим $2 x + 5 < 11$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$2 x < 11 - 5$

Этап 3.4.1.1.2

Вычтем $5$ из $11$ .

$2 x < 6$

Этап 3.4.1.2

Разделим каждый член $2 x < 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Разделим каждый член $2 x < 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

Этап 3.4.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

Этап 3.4.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{6}{2}$

Этап 3.4.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$x < 3$

Этап 3.4.2

Найдем пересечение $x < 3$ и $x \geq - \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2} \leq x < 3$

Этап 3.5

Решим $- 2 x - 5 < 11$ , когда $x < - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Решим $- 2 x - 5 < 11$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$- 2 x < 11 + 5$

Этап 3.5.1.1.2

Добавим $11$ и $5$ .

$- 2 x < 16$

Этап 3.5.1.2

Разделим каждый член $- 2 x < 16$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 x < 16$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{16}{- 2}$

Этап 3.5.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{16}{- 2}$

Этап 3.5.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{16}{- 2}$

Этап 3.5.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.3.1

Разделим $16$ на $- 2$ .

$x > - 8$

Этап 3.5.2

Найдем пересечение $x > - 8$ и $x < - \frac{5}{2}$ .

$- 8 < x < - \frac{5}{2}$

Этап 3.6

Найдем объединение решений.

$- 8 < x < 3$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 8 < x < 3$

Интервальное представление:

$(- 8, 3)$

Этап 5