Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

Этап 1.1.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Разделим $8$ на $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$e = 2 - \frac{4}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 2 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 2 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$e = - 2$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 5.3.2

Упростим путем деления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, - 1)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 4$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - 3$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 4, - 2)$

Фокус: $(- 4, - 1)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = - 3$

Этап 10