Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 4$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 4$

$h = - 6$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 6, 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{16 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 5.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{1})}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3)}$

Этап 5.3.3

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 12}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\sqrt{16 - 12}$

Этап 5.3.4

Вычтем $12$ из $16$ .

$\sqrt{4}$

Этап 5.3.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 6, 4 + 4)$

Этап 6.3

Упростим.

$(- 6, 8)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 6, 4 - (4))$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 6, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 6, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 6, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 6, 4 + 2)$

Этап 7.3

Упростим.

$(- 6, 6)$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 6, 4 - (2))$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 6, 2)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 6, 6)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 6, 6)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{4}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{4}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{4}$

Этап 8.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{4}$

Этап 8.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{4}$

Этап 8.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{4}$

Этап 8.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{1})}}{4}$

Этап 8.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3)}}{4}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 12}}{4}$

Этап 8.3.1.5.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{\sqrt{16 - 12}}{4}$

Этап 8.3.1.6

Вычтем $12$ из $16$ .

$\frac{\sqrt{4}}{4}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{4}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 6, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 6, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(- 6, 6)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6, 2)$

Эксцентриситет: $\frac{1}{2}$

Этап 10