Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} = - 32 x$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $- 32 x = y^{2}$ .

$- 32 x = y^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $- 32 x = y^{2}$ на $- 32$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 32 x = y^{2}$ на $- 32$ .

$\frac{- 32 x}{- 32} = \frac{y^{2}}{- 32}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 32 x}{- 32} = \frac{y^{2}}{- 32}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 32}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y^{2}}{32}$

Этап 3

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{y^{2}}{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{32}$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 3.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{32}}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (- 1 \cdot 32)$

Этап 3.1.1.3.2.3

Умножим $0 (- 1 \cdot 32)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $32$ .

$d = 0 \cdot - 32$

Этап 3.1.1.3.2.3.2

Умножим $0$ на $- 32$ .

$d = 0$

Этап 3.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{32})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{32}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4}{32}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{32}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 1}{8}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 0 - \frac{0}{- \frac{1}{8}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 0 - (0 (- 1 \cdot 8))$

Этап 3.1.1.4.2.1.5

Умножим $- (0 (- 1 \cdot 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$e = 0 - (0 \cdot - 8)$

Этап 3.1.1.4.2.1.5.2

Умножим $0$ на $- 8$ .

$e = 0 - 0$

Этап 3.1.1.4.2.1.5.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 3.1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Этап 3.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{32} y^{2}$ .

$- \frac{1}{32} y^{2}$

Этап 3.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - \frac{1}{32} y^{2}$

Этап 3.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{32}$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 3.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 3.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 3.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 3.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{32})}$

Этап 3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{32})}$

Этап 3.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{32}}$

Этап 3.5.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{32}}$

Этап 3.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}}$

Этап 3.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}}$

Этап 3.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Этап 3.5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 \cdot 8)$

Этап 3.5.3.5

Умножим $- (1 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.5.1

Умножим $8$ на $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Этап 3.5.3.5.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8$

Этап 3.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 3.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 8, 0)$

Этап 3.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 0$

Этап 3.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 3.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = 8$

Этап 3.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(- 8, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = 8$

Направление: обращены влево

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(- 8, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = 8$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 4 \sqrt{- 2 x}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 \sqrt{4}$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2) = 4 \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2) = 4 \cdot 2$

Этап 4.1.2.4

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- 2) = 8$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $8$ .

$y = 8$

Этап 4.1.3

Преобразуем $8$ в десятичное представление.

$= 8$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = - 4 \sqrt{- 2 x}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{4}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2) = - 4 \cdot 2$

Этап 4.2.2.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- 2) = - 8$

Этап 4.2.2.5

Окончательный ответ: $- 8$ .

$y = - 8$

Этап 4.2.3

Преобразуем $- 8$ в десятичное представление.

$= - 8$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 4 \sqrt{- 2 x}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 5.65685424)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 \sqrt{2}$

Этап 4.3.2.2

Окончательный ответ: $4 \sqrt{2}$ .

$y = 4 \sqrt{2}$

Этап 4.3.3

Преобразуем $4 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 5.65685424$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = - 4 \sqrt{- 2 x}$ . В данном случае получится точка $(- 1, - 5.65685424)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}$

Этап 4.4.3

Преобразуем $- 4 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= - 5.65685424$

Этап 4.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 8 \\ - 2 & - 8 \\ - 1 & 5.66 \\ - 1 & - 5.66 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(- 8, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = 8$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 8 \\ - 2 & - 8 \\ - 1 & 5.66 \\ - 1 & - 5.66 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 6