Основы мат. анализа Примеры

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

Этап 1

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

Этап 4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

Этап 5

Вычтем $4$ из $1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Этап 6

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 9

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 3) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 3, - 1$

Этап 11

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 3, - 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (3)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Этап 13.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Этап 13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Этап 13.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Этап 13.4.3

Добавим $3.14159265$ и $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Этап 13.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 14.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 14.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 14.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 14.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 14.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 14.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 14.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 14.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 14.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 14.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 14.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 14.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $1.24904577 + π n$ и $4.39063842 + π n$ в $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16.2

Объединим $\frac{3 π}{4} + π n$ и $\frac{3 π}{4} + π n$ в $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$