Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $(x - 2) (2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.3

Развернем $(x - 2) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.1.4.2

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Этап 4.2.2

Упростим $(x + 2) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Развернем $(x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

Этап 4.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

Этап 4.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

Этап 4.2.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

Этап 4.2.3.4

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

Этап 4.2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

Этап 4.2.5

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Этап 4.2.5.2

Добавим $x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Этап 4.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Этап 4.2.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Этап 4.2.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Этап 4.2.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4.2.8

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.9

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2.9.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.2.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ истинным.

$x = 4$