Основы мат. анализа Примеры

${(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + x^{2} \sqrt{x^{2} + 2}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 2}$ в виде ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}) + x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ из $x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}) + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Этап 2.4

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}})$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}) + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Этап 2.5

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}) + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{4}{2}} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 3

Разделим $4$ на $2$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{2} + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 4

Перепишем ${(x^{2} + 2)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 5

Развернем $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 6.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 6.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 6.2

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{2})$

Этап 7

Разделим $2$ на $2$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x {(x^{2} + 2)}^{1} + x^{2})$

Этап 8

Упростим.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x (x^{2} + 2) + x^{2})$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + x^{2})$

Этап 10

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перенесем $x^{2}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + x^{2})$

Этап 10.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + x^{2})$

Этап 10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + x^{2})$

Этап 10.3

Добавим $2$ и $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + x^{2})$

Этап 11

Умножим $2$ на $2$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 2 x^{3} + 4 x + x^{2})$

Этап 12

Добавим $4 x^{2}$ и $x^{2}$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 5 x^{2} + 4 + 2 x^{3} + 4 x)$

Этап 13

Изменим порядок членов.

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 4)$