Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x}{x + 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{y + 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{y + 2} = x$ .

$\frac{y}{y + 2} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 2, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 2, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 2$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y}{y + 2} = x$ умножим на $y + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y}{y + 2} = x$ на $y + 2$ .

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = x (y + 2)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x y + x \cdot 2$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = x y + 2 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$y - x y = 2 x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2 x$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (1 - x) = 2 x$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = 2 x$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{x + 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{1 - (\frac{x}{x + 2})}$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{1 - \frac{x}{x + 2}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2 - x}{x + 2}}$

Этап 5.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x + 2}{x + 2}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{x - x + 2}{x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 + 2}{x + 2}}$

Этап 5.2.4.4.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{2}{x + 2}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Этап 5.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Этап 5.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 x}{1 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{\frac{2 x}{1 - x}}{(\frac{2 x}{1 - x}) + 2}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + 2}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + \frac{2 (1 - x)}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.3

Изменим порядок членов.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1 - x)$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.4.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.4.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{- x + 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{2}))$

Этап 5.3.6

Умножим $\frac{- x + 1}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

Этап 5.3.8

Умножим $\frac{x}{1 - x}$ на $- x + 1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $- x + 1$ и $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Изменим порядок членов.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 5.3.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 5.3.9.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$