Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4 y - 1}{2 y + 3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ .

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y + 3, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$2 y + 3, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y + 3$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ умножим на $2 y + 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ на $2 y + 3$ .

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} (2 y + 3) = x (2 y + 3)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} (2 y + 3) = x (2 y + 3)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 y - 1 = x (2 y + 3)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 1 = x (2 y) + x \cdot 3$

Этап 3.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y - 1 = 2 x y + x \cdot 3$

Этап 3.3.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$4 y - 1 = 2 x y + 3 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$4 y - 1 - 2 x y = 3 x$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 y - 2 x y = 3 x + 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2 y$ из $4 y - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $4 y$ .

$2 y (2) - 2 x y = 3 x + 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 x y$ .

$2 y (2) + 2 y (- x) = 3 x + 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (2) + 2 y (- x)$ .

$2 y (2 - x) = 3 x + 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $2 y (2 - x) = 3 x + 1$ на $2 (2 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $2 y (2 - x) = 3 x + 1$ на $2 (2 - x)$ .

$\frac{2 y (2 - x)}{2 (2 - x)} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y (2 - x)}{2 (2 - x)} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Этап 3.4.4.2.2

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Этап 3.4.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$ обратной к $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{3 (\frac{4 x - 1}{2 x + 3})}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))} + \frac{1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{3 (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) + 1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1)}{2 x + 3} + 1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1)}{2 x + 3} + \frac{2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1) + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 1 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{12 x + 3 \cdot - 1 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{12 x - 3 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.4.4

Добавим $12 x$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x - 3 + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.4.5

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x + 0}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.4.6

Добавим $14 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{14 x}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 (7 x)}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.6.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 (7 x)}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.6.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3}}$

Этап 5.2.6.2

Умножим $\frac{7 x}{2 x + 3}$ на $\frac{1}{2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x + 3)}{2 x + 3} - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x + 3) - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем $\frac{2 (2 x + 3) - (4 x - 1)}{2 x + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot 3 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 2 \cdot 3 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - (4 x) + 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - 4 x + 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - 4 x + 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.7

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{0 + 6 + 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.8

Добавим $0$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{6 + 1}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.7.3.9

Добавим $6$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{7}{2 x + 3})}$

Этап 5.2.8

Вынесем множитель $\frac{7}{2 x + 3}$ из $\frac{7 x}{(2 x + 3) \frac{7}{2 x + 3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 x + 3}{7} \cdot \frac{7 x}{2 x + 3}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 x + 3}{7} \cdot \frac{7 x}{2 x + 3}$

Этап 5.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 (x))$

Этап 5.2.10.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Этап 5.2.10.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{4 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{4 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 (2) (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 \cdot (2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)})) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 - x}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $2$ и $\frac{3 x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2 - x} + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 (2) (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 (2 - x)})) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 - x}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.6

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + \frac{2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.8

Вынесем множитель $2$ из $6 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.12

Изменим порядок членов.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13

Перепишем $\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{- x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 1 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 \cdot 1 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 1 \cdot 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.6

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.13.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + 1 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.7

Добавим $6 x$ и $x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x + 0}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.3.13.9

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Этап 5.3.4.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + \frac{1}{2 - x} + 3}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1}{2 - x} + 3}$

Этап 5.3.4.5

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1}{2 - x} + \frac{3 (2 - x)}{2 - x}}$

Этап 5.3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1 + 3 (2 - x)}{2 - x}}$

Этап 5.3.4.7

Изменим порядок членов.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 3 (2 - x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.8

Перепишем $\frac{3 x + 3 (2 - x) + 1}{- x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.8.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 6 - 3 x + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.8.4

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 6 + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.8.5

Добавим $0$ и $6$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{6 + 1}{- x + 2}}$

Этап 5.3.4.8.6

Добавим $6$ и $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{7}{- x + 2}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 (x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2)$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x}{- x + 2}$ на $- x + 2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $- x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$ — обратная к $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$