Основы мат. анализа Примеры

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Этап 1

Разделим каждый член $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ на $\sec (\frac{θ}{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ на $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\sec (\frac{θ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Выразим $\sec (\frac{θ}{2})$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Этап 1.3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Этап 1.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Возведем $\cos (\frac{θ}{2})$ в степень $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Этап 1.3.3.2

Возведем $\cos (\frac{θ}{2})$ в степень $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Этап 1.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Этап 1.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Этап 7.3

Приравняем числитель к нулю.

$θ = 0$

Этап 7.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Этап 7.5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Этап 7.5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Этап 7.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Этап 7.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Упростим $2 (2 π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Этап 7.5.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = 4 π$

Этап 7.6

Найдем период $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.6.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.6.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 7.7

Период функции $\cos (\frac{θ}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $θ$ в $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Этап 8.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Этап 8.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Этап 8.4.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = 2 π$

Этап 8.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Этап 8.6

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Этап 8.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Этап 8.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = 2 (2 π - π)$

Этап 8.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.2.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 8.7

Найдем период $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 8.7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8.8

$θ = 2 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$θ = 2 π n$ , для любого целого $n$