Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x^{2} - 5}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 5}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 5$

Этап 2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Этап 2.4

Запишем $| x | \geq \sqrt{5}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq \sqrt{5}$

Этап 2.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Этап 2.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5

Найдем пересечение $x \geq \sqrt{5}$ и $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Этап 2.6

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{5}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{5}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Этап 2.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{5}$ в виде $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Этап 2.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - \sqrt{5}$ или $x \geq \sqrt{5}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - \sqrt{5}, x \geq \sqrt{5}}$

Этап 4