Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 + i}{5 - i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{5 + i}{5 - i}$ на комплексно сопряженное $5 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{5 + i}{5 - i} \cdot \frac{5 + i}{5 + i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(5 + i) (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(5 + i) (5 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (5 + i) + i (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 i + i (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 i + i \cdot 5 + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 + 5 i + i \cdot 5 + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 \cdot i + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1} i}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.1.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1} i^{1}}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1 + 1}}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{2}}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i - 1}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $25$ .

$\frac{24 + 5 i + 5 i}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $5 i$ и $5 i$ .

$\frac{24 + 10 i}{(5 - i) (5 + i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(5 - i) (5 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 + 10 i}{5 (5 + i) - i (5 + i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 + 10 i}{5 \cdot 5 + 5 i - i (5 + i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 + 10 i}{5 \cdot 5 + 5 i - i \cdot 5 - i i}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - i \cdot 5 - i i}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i i}$

Этап 2.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i^{2}}$

Этап 2.3.2.7

Вычтем $5 i$ из $5 i$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 0 - i^{2}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $25$ и $0$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 - i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 - - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 1}$

Этап 2.3.4

Добавим $25$ и $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{26}$

Этап 3

Сократим общий множитель $24 + 10 i$ и $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 (12) + 10 i}{26}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $10 i$ .

$\frac{2 (12) + 2 (5 i)}{26}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (12) + 2 (5 i)$ .

$\frac{2 (12 + 5 i)}{26}$

Этап 3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$\frac{2 (12 + 5 i)}{2 \cdot 13}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (12 + 5 i)}{2 \cdot 13}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12 + 5 i}{13}$

Этап 4

Разобьем дробь $\frac{12 + 5 i}{13}$ на две дроби.

$\frac{12}{13} + \frac{5 i}{13}$