Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 16 x - 192 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{3} + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{3}$ .

$- x^{2} x + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (x) - x^{2} (- 4)$ .

$- x^{2} (x - 4) + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Этап 1.3

Разложим $x^{4} - 16 x - 192$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 1.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Этап 1.3.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{4} - 16 \cdot 4 - 192$

Этап 1.3.3.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 - 16 \cdot 4 - 192$

Этап 1.3.3.3

Умножим $- 16$ на $4$ .

$256 - 64 - 192$

Этап 1.3.3.4

Вычтем $64$ из $256$ .

$192 - 192$

Этап 1.3.3.5

Вычтем $192$ из $192$ .

$0$

Этап 1.3.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 16 x - 192}{x - 4}$

Этап 1.3.5

Разделим $x^{4} - 16 x - 192$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

Этап 1.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

Этап 1.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 1.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 4 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 1.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 1.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Этап 1.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 16 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Этап 1.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Этап 1.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

Этап 1.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

Этап 1.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Этап 1.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x^{2} - 64 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Этап 1.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

Этап 1.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

Этап 1.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $48 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

Этап 1.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

Этап 1.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $48 x - 192$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

Этап 1.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

$0$

Этап 1.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48$

Этап 1.3.6

Запишем $x^{4} - 16 x - 192$ в виде набора множителей.

$- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $x - 4$ из $- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $- x^{2} (x - 4)$ .

$(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ .

$(x - 4) (- x^{2} + x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Этап 1.5

Добавим $- x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$(x - 4) (x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Этап 1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перепишем $x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 4) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 16 x + 48) = 0$

Этап 1.6.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 4) (x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)) = 0$

Этап 1.6.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 3$ .

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} + 16)) = 0$

Этап 1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5

Приравняем $x^{2} + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} + 16$ к $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 16$

Этап 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Этап 5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 4$

Этап 5.2.3.6

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \pm 4 i$

Этап 5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 i$

Этап 5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 i$

Этап 5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 i, - 4 i$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$ верно.

$x = 4, - 3, 4 i, - 4 i$