Основы мат. анализа Примеры

$7^{2 x} + 7^{x + 1} - 60 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $7^{x + 1}$ в виде $7^{x} \cdot 7^{1}$ .

$7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 - 60 = 0$

Этап 1.2

Перепишем $7^{2 x}$ в виде ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 - 60 = 0$

Этап 1.3

Пусть $u = 7^{x}$ . Подставим $u$ вместо $7^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Найдем экспоненту.

$u^{2} + u \cdot 7 - 60 = 0$

Этап 1.3.2

Перенесем $7$ влево от $u$ .

$u^{2} + 7 u - 60 = 0$

Этап 1.4

Разложим $u^{2} + 7 u - 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 60$ , а сумма — $7$ .

$- 5, 12$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 12) = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $7^{x}$ .

$(7^{x} - 5) (7^{x} + 12) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

$7^{x} + 12 = 0$

Этап 3

Приравняем $7^{x} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $7^{x} - 5$ к $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $7^{x} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$7^{x} = 5$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (5)$

Этап 3.2.3

Развернем $\ln (7^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (7) = \ln (5)$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (5)$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (5)$ на $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 4

Приравняем $7^{x} + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $7^{x} + 12$ к $0$ .

$7^{x} + 12 = 0$

Этап 4.2

Решим $7^{x} + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$7^{x} = - 12$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 12)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 12)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $7^{x} = - 12$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7^{x} - 5) (7^{x} + 12) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Десятичная форма:

$x = 0.82708747 \dots$