Основы мат. анализа Примеры

Разбить, используя разложение на сумму элементарных дробей 1/(x^2-1)
Этап 1
Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Разложим дробь на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 1.2
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.3
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.4
Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен .
Этап 1.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.6
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.6.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.7.1.2
Разделим на .
Этап 1.7.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.7.3
Перенесем влево от .
Этап 1.7.4
Перепишем в виде .
Этап 1.7.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.7.5.2
Разделим на .
Этап 1.7.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.7.7
Умножим на .
Этап 1.8
Перенесем .
Этап 2
Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 2.2
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 2.3
Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.
Этап 3
Решим систему уравнений.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 3.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.2
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 3.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1.1.1
Умножим на .
Этап 3.2.2.1.1.2
Умножим на .
Этап 3.2.2.1.2
Добавим и .
Этап 3.3
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 3.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.3.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.4
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 3.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.1
Умножим на .
Этап 3.5
Перечислим все решения.
Этап 4
Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в значениями, найденными для и .