Основы мат. анализа Примеры

$(- 3 \sqrt{3}, - 3)$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(- 3 \sqrt{3})}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $- 3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $9$ на $3$ .

$r = \sqrt{27 + {(- 3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{27 + 9}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3

Добавим $27$ и $9$ .

$r = \sqrt{36}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.4

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 6$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 6$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- 3}{- 3 \sqrt{3}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равна $θ = 210 °$ .

$r = 6$

$θ = 210 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(6, 210 °)$