Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 3, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Этап 5.3.3

Добавим $144$ и $25$ .

$\sqrt{169}$

Этап 5.3.4

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$13$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(9, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 15, 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(10, 2)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 16, 2)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Этап 8.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Этап 8.3.3

Добавим $144$ и $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Этап 8.3.4

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Этап 8.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{13}{12}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{5^{2}}{13}$

Этап 9.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25}{13}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Этап 11.2

Упростим $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{5}{12}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Этап 11.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 11.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $5$ и $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{12}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Этап 12.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Этап 12.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Этап 12.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Этап 12.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Этап 12.2.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 12.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $- 5$ и $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 3, 2)$

Вершины: $(9, 2), (- 15, 2)$

Фокусы: $(10, 2), (- 16, 2)$

Эксцентриситет: $\frac{13}{12}$

Фокальный параметр: $\frac{25}{13}$

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Этап 15