Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4$

Этап 1

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $2^{- x}$ в виде степенного выражения.

$2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 12$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 12$

Этап 3.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 3.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3.4.2

Каждый член в $u - \frac{1}{u} = 12$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим каждый член $u - \frac{1}{u} = 12$ на $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u$

Этап 3.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{u}$ в числитель.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Этап 3.4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Этап 3.4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 1 = 12 u$

Этап 3.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $12 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 1 - 12 u = 0$

Этап 3.4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 12$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.3

Добавим $144$ и $4$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.4

Перепишем $148$ в виде $2^{2} \cdot 37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $148$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Этап 3.4.3.4.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

Этап 3.4.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

Этап 3.5

Подставим $6 + \sqrt{37}$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$

Этап 3.6

Решим $6 + \sqrt{37} = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 6 + \sqrt{37}$ .

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$

Этап 3.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Этап 3.6.3

Развернем $\ln (2^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Этап 3.6.4

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ на $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Этап 3.6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Этап 3.6.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Этап 3.7

Подставим $6 - \sqrt{37}$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$

Этап 3.8

Решим $6 - \sqrt{37} = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ .

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Этап 3.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})$

Этап 3.8.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (6 - \sqrt{37})$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.8.4

Нет решения для $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Нет решения

Этап 3.9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Десятичная форма:

$x = 3.59487843 \dots$