Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $3$ как $1$ плюс $2$

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Этап 1.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x + 2}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x + 2}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{x + 2}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$x + 2 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 2 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 1)$ на $1$ .

$x + 2 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.3

Умножим $A$ на $1$ .

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (2 x + 1)$ на $1$ .

$x + 2 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Этап 1.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Этап 1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $B$ .

$x + 2 = A x + A + 2 x B + B$

Этап 1.8.2

Перенесем $A$ .

$x + 2 = A x + 2 x B + A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$2 = A + B$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $1 - 2 B$ .

$2 = (1 - 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 2 B$ и $B$ .

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $2 = 1 - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 - B = 2$ .

$1 - B = 2$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- B = 2 - 1$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - 2 B$ на $- 1$ .

$A = 1 - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 1$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = - 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{3}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$