Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + h)}^{- 2} - x^{- 2}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + h)}^{- 2}$ в виде ${({(x + h)}^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - x^{- 2}}{h}$

Этап 1.2

Перепишем $x^{- 2}$ в виде ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{h}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(x + h)}^{- 1}$ и $b = x^{- 1}$ .

$\frac{({(x + h)}^{- 1} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.3

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.4

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.5.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.5.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.7

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - x^{- 1})}{h}$

Этап 1.4.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 1.4.10

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 1.4.11

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Этап 1.4.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Этап 1.4.12.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 1.4.12.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 1.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.4.14

Перепишем $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.4.14.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.4.14.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 1.6.2

Умножим $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ на $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Этап 1.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 1.6.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 1.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 1.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 1.6.7

Возведем $x + h$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Этап 1.6.8

Возведем $x + h$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Этап 1.6.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 1.6.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $h$ из $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$