Основы мат. анализа Примеры

$2 \log (x) = \log (2) + \log (5 x - 8)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2}) = \log (2) + \log (5 x - 8)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\log (2) + \log (5 x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{2}) = \log (2 (5 x - 8))$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x^{2}) = \log (2 (5 x) + 2 \cdot - 8)$

Этап 2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\log (x^{2}) = \log (10 x + 2 \cdot - 8)$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\log (x^{2}) = \log (10 x - 16)$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} = 10 x - 16$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 10 x = - 16$

Этап 4.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 10 x + 16 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 10 x + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $- 10$ .

$- 8, - 2$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x - 2) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 4.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 8, 2$