Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + 4}$

Этап 5.3.3

Добавим $9$ и $4$ .

$\sqrt{13}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 3, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(3, 0), (- 3, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{13}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{13}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4}}{3}$

Этап 8.3.3

Добавим $9$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{4}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{2}{3} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{2}{3} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{2}{3} x$ и $0$ .

$y = \frac{2}{3} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{3}$

Этап 12

Упростим $- \frac{2}{3} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{2}{3} x$ и $0$ .

$y = - \frac{2}{3} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3}$

Этап 12.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{2 x}{3}, y = - \frac{2 x}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(3, 0), (- 3, 0)$

Фокусы: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Асимптоты: $y = \frac{2 x}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3}$

Этап 15