Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 n + 8}{n^{2} + n - 72} + \frac{8}{n^{2} + n - 72} = \frac{1}{n + 9}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 n + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 n$ .

$\frac{4 (n) + 8}{n^{2} + n - 72} + \frac{8}{n^{2} + n - 72} = \frac{1}{n + 9}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 n + 4 \cdot 2}{n^{2} + n - 72} + \frac{8}{n^{2} + n - 72} = \frac{1}{n + 9}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 n + 4 \cdot 2$ .

$\frac{4 (n + 2)}{n^{2} + n - 72} + \frac{8}{n^{2} + n - 72} = \frac{1}{n + 9}$

Этап 1.2

Разложим $n^{2} + n - 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 72$ , а сумма — $1$ .

$- 8, 9$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 (n + 2)}{(n - 8) (n + 9)} + \frac{8}{n^{2} + n - 72} = \frac{1}{n + 9}$

Этап 1.3

Разложим $n^{2} + n - 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

$- 8, 9$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 (n + 2)}{(n - 8) (n + 9)} + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} = \frac{1}{n + 9}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(n - 8) (n + 9), (n - 8) (n + 9), n + 9$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $n - 8$ является само значение $n - 8$ .

$(n - 8) = n - 8$

$(n - 8)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $n + 9$ является само значение $n + 9$ .

$(n + 9) = n + 9$

$(n + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $n - 8$ является само значение $n - 8$ .

$(n - 8) = n - 8$

$(n - 8)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $n + 9$ является само значение $n + 9$ .

$(n + 9) = n + 9$

$(n + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $n - 8, n + 9, n - 8, n + 9, n + 9$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(n - 8) (n + 9)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4 (n + 2)}{(n - 8) (n + 9)} + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} = \frac{1}{n + 9}$ умножим на $(n - 8) (n + 9)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4 (n + 2)}{(n - 8) (n + 9)} + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} = \frac{1}{n + 9}$ на $(n - 8) (n + 9)$ .

$\frac{4 (n + 2)}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(n - 8) (n + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (n + 2)}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (n + 2) + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 n + 4 \cdot 2 + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$4 n + 8 + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $(n - 8) (n + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$4 n + 8 + \frac{8}{(n - 8) (n + 9)} ((n - 8) (n + 9)) = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$4 n + 8 + 8 = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.2.2

Добавим $8$ и $8$ .

$4 n + 16 = \frac{1}{n + 9} ((n - 8) (n + 9))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $n + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $n + 9$ из $(n - 8) (n + 9)$ .

$4 n + 16 = \frac{1}{n + 9} ((n + 9) (n - 8))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 n + 16 = \frac{1}{n + 9} ((n + 9) (n - 8))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 n + 16 = n - 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $n$ из обеих частей уравнения.

$4 n + 16 - n = - 8$

Этап 4.1.2

Вычтем $n$ из $4 n$ .

$3 n + 16 = - 8$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$3 n = - 8 - 16$

Этап 4.2.2

Вычтем $16$ из $- 8$ .

$3 n = - 24$

Этап 4.3

Разделим каждый член $3 n = - 24$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $3 n = - 24$ на $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 24}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 24}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 24}{3}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 24$ на $3$ .

$n = - 8$