Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x + 30} = x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 30}}^{2} = x^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 30}$ в виде ${(x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 30)}^{1} = x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x + 30 = x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 30 - x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x + 30 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $30$ .

$x - x^{2} + 30 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 30 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 30 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 30 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $30$ в виде $- 1 (- 30)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 30)$ .

$- (x^{2} - x - 30) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $- 1$ .

$- 6, 5$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 6) (x + 5)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 6) (x + 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 6) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 6, - 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x + 30} = x$ истинным.

$x = 6$