Основы мат. анализа Примеры

$A = π r^{2}$

Этап 1

Запишем $A = π r^{2}$ в виде функции.

$f (r) = π r^{2}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = r + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $r$ на $r + h$ .

$f (r + h) = π {(r + h)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(r + h)}^{2}$ в виде $(r + h) (r + h)$ .

$f (r + h) = π ((r + h) (r + h))$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(r + h) (r + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (r + h) = π (r (r + h) + h (r + h))$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (r + h) = π (r \cdot r + r h + h (r + h))$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (r + h) = π (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $r$ на $r$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + r h + h r + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + r h + h r + h^{2})$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $r h$ и $h r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.2.1

Изменим порядок $r$ и $h$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + h r + h r + h^{2})$

Этап 3.1.2.3.2.2

Добавим $h r$ и $h r$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + 2 h r + h^{2})$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (r + h) = π r^{2} + π (2 h r) + π h^{2}$

Этап 3.1.2.5

Избавимся от скобок.

$f (r + h) = π r^{2} + π \cdot (2 h r) + π h^{2}$

Этап 3.1.2.6

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (r + h) = π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$ .

$π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $π r^{2}$ .

$2 π h r + π h^{2} + π r^{2}$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $2 π h r$ и $π h^{2}$ .

$π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (r + h) = π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

$f (r) = π r^{2}$

$f (r + h) = π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

$f (r) = π r^{2}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{π h^{2} + 2 π h r + π r^{2} - (π r^{2})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $π r^{2}$ из $π r^{2}$ .

$\frac{π h^{2} + 2 π h r + 0}{h}$

Этап 5.1.2

Добавим $π h^{2} + 2 π h r$ и $0$ .

$\frac{π h^{2} + 2 π h r}{h}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $π h$ из $π h^{2} + 2 π h r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $π h$ из $π h^{2}$ .

$\frac{π h \cdot h + 2 π h r}{h}$

Этап 5.1.3.2

Вынесем множитель $π h$ из $2 π h r$ .

$\frac{π h \cdot h + π h (2 r)}{h}$

Этап 5.1.3.3

Вынесем множитель $π h$ из $π h \cdot h + π h (2 r)$ .

$\frac{π h (h + 2 r)}{h}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π h (h + 2 r)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $π (h + 2 r)$ на $1$ .

$π (h + 2 r)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$π h + π (2 r)$

Этап 5.2.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$π h + 2 π r$

Этап 5.2.4

Изменим порядок $π h$ и $2 π r$ .

$2 π r + π h$

Этап 6