Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 (x + h)}}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ .

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} - (\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ .

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ .

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ на $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ на $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $20$ из $20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $20$ из $- 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $20$ из $20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 \cdot 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} + 0 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $9 e^{- 3 x}$ и $0$ .

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Перепишем $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1

Вынесем множитель $9$ из $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 e^{- 3 x}$ .

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h})$ .

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.2

Перепишем $e^{- 3 x}$ в виде ${(e^{- x})}^{3}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.3

Перепишем $e^{- 3 x - 3 h}$ в виде ${(e^{- x - h})}^{3}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - {(e^{- x - h})}^{3}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = e^{- x}$ и $b = e^{- x - h}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) ({(e^{- x})}^{2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.5.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- x \cdot 2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.2

Умножим $e^{- x}$ на $e^{- x - h}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x - x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.2.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.3

Перемножим экспоненты в ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{(- x - h) \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 \cdot 9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Умножим $20$ на $9$ .

$\frac{\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}) \cdot 1}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $180$ на $1$ .

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

Этап 4.4.2

Изменим порядок множителей в $\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$ .

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{h (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$

Этап 5