Основы мат. анализа Примеры

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

Этап 1

Запишем $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $t$ этих двух точек.

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ в $f (1)$ и $f (- 3)$ , заменив $t$ в функции соответствующим значением $t$ .

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ на $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ .

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $1^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель ${(- 3)}^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ в числитель.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель ${(- 3)}^{2} + 3$ из $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.4

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.5

Умножим $12$ на $- 3$ .

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.7

Умножим $- 36$ на $2$ .

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.9

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.10

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.11

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.12

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.13

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.14

Умножим $4 (- 5 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.14.1

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.14.2

Умножим $4$ на $10$ .

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.4.15

Добавим $- 72$ и $40$ .

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.4

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.5

Умножим $4 \cdot 12 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $4$ на $12$ .

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $48$ на $1$ .

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.7

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.8

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

Этап 3.5.9

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

Этап 3.5.10

Умножим $4 \cdot 12 (- (- 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.10.1

Умножим $4$ на $12$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

Этап 3.5.10.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

Этап 3.5.10.3

Умножим $48$ на $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 144}$

Этап 3.5.11

Добавим $48$ и $144$ .

$\frac{- 32}{192}$

Этап 3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель $- 32$ и $192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $32$ из $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{192}$

Этап 3.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Вынесем множитель $32$ из $192$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Этап 3.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Этап 3.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{6}$

Этап 3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6}$