Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{2} x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Этап 3.1.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Этап 3.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Этап 3.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2}$

Этап 3.1.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $h x$ и $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $\frac{x^{2}}{2}$ из $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Этап 5.1.2

Добавим $\frac{h^{2}}{2} + h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $h$ из $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $h$ из $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Этап 5.1.3.2

Вынесем множитель $h$ из $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Этап 5.1.3.3

Вынесем множитель $h$ из $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Этап 5.1.4

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Этап 5.1.5

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Этап 5.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Этап 5.1.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Этап 5.2

Объединим $h$ и $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Этап 6