Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{5}{x - 1} + 2$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$g (x + h) = \frac{5}{(x + h) - 1} + 2$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$g (x + h) = \frac{5}{x + h - 1} + \frac{2 (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (x + h) = \frac{5 + 2 (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + h) = \frac{5 + 2 x + 2 h + 2 \cdot - 1}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x + h) = \frac{5 + 2 x + 2 h - 2}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.3.3

Вычтем $2$ из $5$ .

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

$g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

$g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} - (\frac{2 x + 3}{x - 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 3}{x - 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{2 x + 3}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{2 x + 3}{x - 1}$ на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{(2 x + 3) (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{(2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(2 x + 2 h + 3) (x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x - 2 h + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x - 2 h + 3 x - 3 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- (2 x) - 1 \cdot 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- 2 x - 1 \cdot 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- 2 x - 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Развернем $(- 2 x - 3) (x + h - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x \cdot x - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h + 2 x - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h + 2 x - 3 x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 2 h x - 2 h - 3 + 0 - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\frac{x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{2 h x - 2 h - 3 - 2 x h + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Вычтем $2 x h$ из $2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.13.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 2 x h - 2 x h + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.13.2

Вычтем $2 x h$ из $2 x h$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 0 + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.14

Добавим $- 2 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.15

Добавим $- 2 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.16

Вычтем $3 h$ из $- 2 h$ .

$\frac{\frac{- 5 h - 3 + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.17

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{\frac{- 5 h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.18

Добавим $- 5 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 5 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 5 h$ .

$\frac{h \cdot - 5}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 5}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 5