Основы мат. анализа Примеры

$2 t^{2} - t$

Этап 1

Запишем $2 t^{2} - t$ в виде функции.

$f (t) = 2 t^{2} - t$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$f (t + h) = 2 {(t + h)}^{2} - (t + h)$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(t + h)}^{2}$ в виде $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = 2 ((t + h) (t + h)) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(t + h) (t + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = 2 (t (t + h) + h (t + h)) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = 2 (t \cdot t + t h + h (t + h)) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = 2 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$f (t + h) = 2 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (t + h) = 2 (t^{2} + t h + h t + h^{2}) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$f (t + h) = 2 (t^{2} + h t + h t + h^{2}) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$f (t + h) = 2 (t^{2} + 2 h t + h^{2}) - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = 2 t^{2} + 2 (2 h t) + 2 h^{2} - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (t + h) = 2 t^{2} + 4 (h t) + 2 h^{2} - (t + h)$

Этап 3.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = 2 t^{2} + 4 h t + 2 h^{2} - t - h$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $2 t^{2} + 4 h t + 2 h^{2} - t - h$ .

$2 t^{2} + 4 h t + 2 h^{2} - t - h$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $- t$ .

$2 t^{2} + 4 h t + 2 h^{2} - h - t$

Этап 3.2.2

Перенесем $2 t^{2}$ .

$4 h t + 2 h^{2} + 2 t^{2} - h - t$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $4 h t$ и $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (t + h) = 2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t$

$f (t) = 2 t^{2} - t$

$f (t + h) = 2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t$

$f (t) = 2 t^{2} - t$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t - (2 t^{2} - t)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t - (2 t^{2}) - - t}{h}$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t - 2 t^{2} - - t}{h}$

Этап 5.1.3

Умножим $- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t - 2 t^{2} + 1 t}{h}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t + 2 t^{2} - h - t - 2 t^{2} + t}{h}$

Этап 5.1.4

Вычтем $2 t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t - h - t + 0 + t}{h}$

Этап 5.1.5

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t - h - t + t}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $- t$ и $t$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t - h + 0}{h}$

Этап 5.1.7

Добавим $2 h^{2} + 4 h t - h$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h t - h}{h}$

Этап 5.1.8

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2} + 4 h t - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2}$ .

$\frac{h (2 h) + 4 h t - h}{h}$

Этап 5.1.8.2

Вынесем множитель $h$ из $4 h t$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 t) - h}{h}$

Этап 5.1.8.3

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 t) + h \cdot - 1}{h}$

Этап 5.1.8.4

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h) + h (4 t)$ .

$\frac{h (2 h + 4 t) + h \cdot - 1}{h}$

Этап 5.1.8.5

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h + 4 t) + h \cdot - 1$ .

$\frac{h (2 h + 4 t - 1)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (2 h + 4 t - 1)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $2 h + 4 t - 1$ на $1$ .

$2 h + 4 t - 1$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $2 h$ и $4 t$ .

$4 t + 2 h - 1$

Этап 6