Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{x} - x + 1$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x + h} - (x + h) + 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \sqrt{x + h} - (x + h) + 1$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \sqrt{x + h} - x - h + 1$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $\sqrt{x + h} - x - h + 1$ .

$\sqrt{x + h} - x - h + 1$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$\sqrt{h + x} - x - h + 1$

Этап 2.2.2

Перенесем $\sqrt{h + x}$ .

$- x - h + \sqrt{h + x} + 1$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $- x$ и $- h$ .

$- h - x + \sqrt{h + x} + 1$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h - x + \sqrt{h + x} + 1$

$f (x) = \sqrt{x} - x + 1$

$f (x + h) = - h - x + \sqrt{h + x} + 1$

$f (x) = \sqrt{x} - x + 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - (\sqrt{x} - x + 1)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} - - x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} + 1 x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} + x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} + x - 1}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{- h + 0 + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} - 1}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{- h + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} - 1}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- h + \sqrt{h + x} + 0 - \sqrt{x}}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{- h + \sqrt{h + x} - \sqrt{x}}{h}$

Этап 4.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{h + x}$ .

$\frac{- h - 1 (- \sqrt{h + x}) - \sqrt{x}}{h}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- h - 1 (- \sqrt{h + x})$ .

$\frac{- (h - \sqrt{h + x}) - \sqrt{x}}{h}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{x}$ .

$\frac{- (h - \sqrt{h + x}) - (\sqrt{x})}{h}$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (h - \sqrt{h + x}) - (\sqrt{x})$ .

$\frac{- (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})}{h}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Перепишем $- (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})$ в виде $- 1 (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})$ .

$\frac{- 1 (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})}{h}$

Этап 4.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x}}{h}$

Этап 5