Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}$ , $[0, 2]$

Этап 1

Запишем $x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}$ в виде уравнения.

$y = x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (2) - f (0)}{(2) - (0)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}$ в $f (2)$ и $f (0)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{({(2)}^{2} \sqrt{{(2)}^{3} + 1}) - ({(0)}^{2} \sqrt{{(0)}^{3} + 1})}{(2) - (0)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2^{3} + 1} - 0^{2} \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{4 \sqrt{8 + 1} - 0^{2} \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.3

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{9} - 0^{2} \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3^{2}} - 0^{2} \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 \cdot 3 - 0^{2} \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 0^{2} \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{12 - 0 \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{12 + 0 \sqrt{0^{3} + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{12 + 0 \sqrt{0 + 1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.10

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{12 + 0 \sqrt{1}}{2 - (0)}$

Этап 3.1.11

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{12 + 0 \cdot 1}{2 - (0)}$

Этап 3.1.12

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{12 + 0}{2 - (0)}$

Этап 3.1.13

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{12}{2 - (0)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{12}{2 + 0}$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{12}{2}$

Этап 3.3

Разделим $12$ на $2$ .

$6$