Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ в $f (3)$ и $f (1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Этап 3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Этап 3.2.2

Объединим.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.9

Умножим $3 (- 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.9.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.5.10

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Этап 3.6.2

Умножим $3 (- (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Этап 3.6.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Этап 3.6.3

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Этап 3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Десятичная форма:

$0.47140452 \dots$