Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ .

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} - (\frac{x - 1}{x + 3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{x - 1}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 3) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{x - 1}{x + 3}$ на $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(x + h - 1) (x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Перенесем $3$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 \cdot h - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x - - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x + 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Развернем $(- x + 1) (x + h + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.4

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 + 0 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 3 - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.12.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + x h - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Добавим $3 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.14

Добавим $3 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.15

Добавим $3 h$ и $h$ .

$\frac{\frac{4 h - 3 + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.16

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{\frac{4 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.17

Добавим $4 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $4 h$ .

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Этап 5