Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = (x + 3) (x - 3)$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = ((x + h) + 3) ((x + h) - 3)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Развернем $(x + h + 3) (x + h - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h - 3 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.1.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 0 + 3 h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.1.3

Добавим $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 3$ и $0$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.1.4

Изменим порядок множителей в членах $h \cdot - 3$ и $3 h$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 3 h + 3 h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.1.5

Добавим $- 3 h$ и $3 h$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.1.6

Добавим $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ и $0$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.2.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 \cdot - 3$

Этап 2.1.2.2.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 9$

Этап 2.1.2.3

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 9$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 9$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 9$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 9$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9$

$f (x) = x^{2} - 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9$

$f (x) = x^{2} - 9$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9 - (x^{2} - 9)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9 - x^{2} - - 9}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9 - x^{2} + 9}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 9 + 9}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 9 + 9}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 9$ и $9$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{2} + 2 h x$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h + 2 x$ на $1$ .

$h + 2 x$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$2 x + h$

Этап 5