Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 0.03 (10 x - x^{2})$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 (x + h) - {(x + h)}^{2})$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - {(x + h)}^{2})$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - ((x + h) (x + h)))$

Этап 2.1.2.1.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x (x + h) + h (x + h)))$

Этап 2.1.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

Этап 2.1.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

Этап 2.1.2.1.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

Этап 2.1.2.1.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

Этап 2.1.2.1.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

Этап 2.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2})$

Этап 2.1.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - x^{2} - 2 h x - h^{2})$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (10 x) + 0.03 (10 h) + 0.03 (- x^{2}) + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Этап 2.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $10$ на $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.03 (10 h) + 0.03 (- x^{2}) + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $10$ на $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h + 0.03 (- x^{2}) + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $- 2$ на $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 (h x) + 0.03 (- h^{2})$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 (h x) - 0.03 h^{2}$

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2}$ .

$0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $0.3 x$ .

$0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2} + 0.3 x$

Этап 2.2.2

Перенесем $0.3 h$ .

$- 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

Этап 2.2.3

Перенесем $- 0.03 x^{2}$ .

$- 0.06 h x - 0.03 h^{2} - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $- 0.06 h x$ и $- 0.03 h^{2}$ .

$- 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

$f (x) = 0.3 x - 0.03 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

$f (x) = 0.3 x - 0.03 x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (0.3 x - 0.03 x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $0.01$ из $- 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (0.3 x - 0.03 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Перенесем $h$ .

$\frac{- 0.03 h^{2} - 0.06 x h - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (0.3 x - 0.03 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.1.1.2

Изменим порядок $0.3 x$ и $- 0.03 x^{2}$ .

$\frac{- 0.03 h^{2} - 0.06 x h - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $0.01$ из $- 0.03 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) - 0.06 x h - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $0.01$ из $- 0.06 x h$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $0.01$ из $- 0.03 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $0.01$ из $0.3 h$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Этап 4.1.1.6

Вынесем множитель $0.01$ из $0.3 x$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Этап 4.1.1.7

Вынесем множитель $0.01$ из $- (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.1.8

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.1.9

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.1.10

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.01 (30 h)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.1.11

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h) + 0.01 (30 x)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.1.12

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x - 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x - 100 (- 0.03 x^{2}) - 100 (0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 0.03$ на $- 100$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x + 3 x^{2} - 100 (0.3 x))}{h}$

Этап 4.1.4

Умножим $0.3$ на $- 100$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x + 3 x^{2} - 30 x)}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 30 x - 30 x)}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $30 x$ из $30 x$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.7

Перепишем $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x h$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 30 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.7.1.3

Вынесем множитель $3$ из $0 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 30 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.7.1.4

Вынесем множитель $3$ из $30 h$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (10 h) + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.7.1.5

Вынесем множитель $3$ из $0 x$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.7.1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.7.1.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.7.1.8

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (10 h)$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.7.1.9

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 10 h) + 3 (0 x)$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 10 h + 0 x))}{h}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h + 0 x))}{h}$

Этап 4.1.7.3

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h + 0))}{h}$

Этап 4.1.7.4

Добавим $- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h$ и $0$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h))}{h}$

Этап 4.1.7.5

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 10 h))}{h}$

Этап 4.1.7.6

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 x h + 10 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.6.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h) - 2 x h + 10 h))}{h}$

Этап 4.1.7.6.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 x h$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 10 h))}{h}$

Этап 4.1.7.6.3

Вынесем множитель $h$ из $10 h$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 10))}{h}$

Этап 4.1.7.6.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 10))}{h}$

Этап 4.1.7.6.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 x) + h \cdot 10$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h - 2 x + 10)))}{h}$

$\frac{0.01 (3 h (- h - 2 x + 10))}{h}$

$\frac{0.01 \cdot 3 h (- h - 2 x + 10)}{h}$

Этап 4.1.8

Умножим $0.01$ на $3$ .

$\frac{0.03 h (- h - 2 x + 10)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.03 h (- h - 2 x + 10)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $0.03 (- h - 2 x + 10)$ на $1$ .

$0.03 (- h - 2 x + 10)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0.03 (- h) + 0.03 (- 2 x) + 0.03 \cdot 10$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $0.03$ .

$- 0.03 h + 0.03 (- 2 x) + 0.03 \cdot 10$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $0.03$ .

$- 0.03 h - 0.06 x + 0.03 \cdot 10$

Этап 4.3.3

Умножим $0.03$ на $10$ .

$- 0.03 h - 0.06 x + 0.3$

Этап 4.4

Изменим порядок $- 0.03 h$ и $- 0.06 x$ .

$- 0.06 x - 0.03 h + 0.3$

Этап 5