Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{3 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем множитель $x + h$ из $3 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + h$ из $3 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h)) - 5 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $x + h$ из $- 5 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h)) + (x + h) \cdot - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Вынесем множитель $x + h$ из $(x + h) (3 (x + h)) + (x + h) \cdot - 5$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h) - 5)}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 x + 3 h - 5)}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 x + 3 h - 5)}$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

$f (x) = \frac{1}{3 x - 5}$

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

$f (x) = \frac{1}{3 x - 5}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} - (\frac{1}{3 x - 5})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} - \frac{1}{3 x - 5}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{3 x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} - \frac{1}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ на $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{1}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{3 x - 5}$ на $\frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{3 x + 3 h - 5}{(3 x - 5) (3 x + 3 h - 5)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(3 x - 5) (3 x + 3 h - 5)$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{3 x + 3 h - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x - 5 - (3 x + 3 h - 5)}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{3 x - 5 - (3 x + 3 h - 5)}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 x - 5 - (3 x) - (3 h) - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - (3 h) - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 h - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{\frac{0 - 5 - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{\frac{- 5 - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $- 3 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$ в числитель.

$\frac{- 3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$

Этап 5