Основы мат. анализа Примеры

$r (x) = 100 x - 0.05 x^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$r (x + h) = 100 (x + h) - 0.05 {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 ((x + h) (x + h))$

Этап 2.1.2.1.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 2.1.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 2.1.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.1.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 x^{2} - 0.05 (2 h x) - 0.05 h^{2}$

Этап 2.1.2.1.6

Умножим $2$ на $- 0.05$ .

$r (x + h) = 100 x + 100 h - 0.05 x^{2} - 0.1 h x - 0.05 h^{2}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $100 x + 100 h - 0.05 x^{2} - 0.1 h x - 0.05 h^{2}$ .

$100 x + 100 h - 0.05 x^{2} - 0.1 h x - 0.05 h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $100 x$ .

$100 h - 0.05 x^{2} - 0.1 h x - 0.05 h^{2} + 100 x$

Этап 2.2.2

Перенесем $100 h$ .

$- 0.05 x^{2} - 0.1 h x - 0.05 h^{2} + 100 h + 100 x$

Этап 2.2.3

Перенесем $- 0.05 x^{2}$ .

$- 0.1 h x - 0.05 h^{2} - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $- 0.1 h x$ и $- 0.05 h^{2}$ .

$- 0.05 h^{2} - 0.1 h x - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$r (x + h) = - 0.05 h^{2} - 0.1 h x - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x$

$r (x) = 100 x - 0.05 x^{2}$

$r (x + h) = - 0.05 h^{2} - 0.1 h x - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x$

$r (x) = 100 x - 0.05 x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{r (x + h) - r x}{h} = \frac{- 0.05 h^{2} - 0.1 h x - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x - (100 x - 0.05 x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $0.05$ из $- 0.05 h^{2} - 0.1 h x - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x - (100 x - 0.05 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Перенесем $h$ .

$\frac{- 0.05 h^{2} - 0.1 x h - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x - (100 x - 0.05 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.1.1.2

Изменим порядок $100 x$ и $- 0.05 x^{2}$ .

$\frac{- 0.05 h^{2} - 0.1 x h - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x - (- 0.05 x^{2} + 100 x)}{h}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $0.05$ из $- 0.05 h^{2}$ .

$\frac{0.05 (- h^{2}) - 0.1 x h - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x - (- 0.05 x^{2} + 100 x)}{h}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $0.05$ из $- 0.1 x h$ .

$\frac{0.05 (- h^{2}) + 0.05 (- 2 x h) - 0.05 x^{2} + 100 h + 100 x - (- 0.05 x^{2} + 100 x)}{h}$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $0.05$ из $- 0.05 x^{2}$ .

$\frac{0.05 (- h^{2}) + 0.05 (- 2 x h) + 0.05 (- x^{2}) + 100 h + 100 x - (- 0.05 x^{2} + 100 x)}{h}$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $0.05$ из $100 h$ .

$\frac{0.05 (- h^{2}) + 0.05 (- 2 x h) + 0.05 (- x^{2}) + 0.05 (2000 h) + 100 x - (- 0.05 x^{2} + 100 x)}{h}$

Этап 4.1.1.6

Вынесем множитель $0.05$ из $100 x$ .

$\frac{0.05 (- h^{2}) + 0.05 (- 2 x h) + 0.05 (- x^{2}) + 0.05 (2000 h) + 0.05 (2000 x) - (- 0.05 x^{2} + 100 x)}{h}$

Этап 4.1.1.7

Вынесем множитель $0.05$ из $- (- 0.05 x^{2} + 100 x)$ .

$\frac{0.05 (- h^{2}) + 0.05 (- 2 x h) + 0.05 (- x^{2}) + 0.05 (2000 h) + 0.05 (2000 x) + 0.05 (- 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))}{h}$

Этап 4.1.1.8

Вынесем множитель $0.05$ из $0.05 (- h^{2}) + 0.05 (- 2 x h)$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h) + 0.05 (- x^{2}) + 0.05 (2000 h) + 0.05 (2000 x) + 0.05 (- 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))}{h}$

Этап 4.1.1.9

Вынесем множитель $0.05$ из $0.05 (- h^{2} - 2 x h) + 0.05 (- x^{2})$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2}) + 0.05 (2000 h) + 0.05 (2000 x) + 0.05 (- 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))}{h}$

Этап 4.1.1.10

Вынесем множитель $0.05$ из $0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2}) + 0.05 (2000 h)$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h) + 0.05 (2000 x) + 0.05 (- 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))}{h}$

Этап 4.1.1.11

Вынесем множитель $0.05$ из $0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h) + 0.05 (2000 x)$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x) + 0.05 (- 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))}{h}$

Этап 4.1.1.12

Вынесем множитель $0.05$ из $0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x) + 0.05 (- 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x - 20 (- 0.05 x^{2} + 100 x))}{h}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x - 20 (- 0.05 x^{2}) - 20 (100 x))}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 20 (- 0.05 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 0.05$ на $- 20$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x + 1 x^{2} - 20 (100 x))}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x + x^{2} - 20 (100 x))}{h}$

Этап 4.1.4

Умножим $100$ на $- 20$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 2000 h + 2000 x + x^{2} - 2000 x)}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h + 2000 h + 2000 x + 0 - 2000 x)}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h + 2000 h + 2000 x - 2000 x)}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $2000 x$ из $2000 x$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h + 2000 h + 0)}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $- h^{2} - 2 x h + 2000 h$ и $0$ .

$\frac{0.05 (- h^{2} - 2 x h + 2000 h)}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 x h + 2000 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{0.05 (h (- h) - 2 x h + 2000 h)}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 x h$ .

$\frac{0.05 (h (- h) + h (- 2 x) + 2000 h)}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $2000 h$ .

$\frac{0.05 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2000)}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{0.05 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2000)}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 x) + h \cdot 2000$ .

$\frac{0.05 (h (- h - 2 x + 2000))}{h}$

$\frac{0.05 h (- h - 2 x + 2000)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.05 h (- h - 2 x + 2000)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $0.05 (- h - 2 x + 2000)$ на $1$ .

$0.05 (- h - 2 x + 2000)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0.05 (- h) + 0.05 (- 2 x) + 0.05 \cdot 2000$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $0.05$ .

$- 0.05 h + 0.05 (- 2 x) + 0.05 \cdot 2000$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $0.05$ .

$- 0.05 h - 0.1 x + 0.05 \cdot 2000$

Этап 4.3.3

Умножим $0.05$ на $2000$ .

$- 0.05 h - 0.1 x + 100$

Этап 4.4

Изменим порядок $- 0.05 h$ и $- 0.1 x$ .

$- 0.1 x - 0.05 h + 100$

Этап 5