Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - (18 + 3 e^{- 3 x})}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 1 \cdot 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Этап 4.4

Вычтем $18$ из $18$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 0 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Этап 4.5

Добавим $3 e^{- 3 x - 3 h}$ и $0$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Этап 4.6

Перепишем $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 e^{- 3 x}$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})}{h}$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})$ .

$\frac{3 (e^{- 3 x - 3 h} - e^{- 3 x})}{h}$

Этап 4.6.2

Перепишем $e^{- 3 x - 3 h}$ в виде ${(e^{- x - h})}^{3}$ .

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - e^{- 3 x})}{h}$

Этап 4.6.3

Перепишем $e^{- 3 x}$ в виде ${(e^{- x})}^{3}$ .

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - {(e^{- x})}^{3})}{h}$

Этап 4.6.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = e^{- x - h}$ и $b = e^{- x}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) ({(e^{- x - h})}^{2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{(- x - h) \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5.2

Умножим $e^{- x - h}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h - x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5.2.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Этап 4.6.5.3

Перемножим экспоненты в ${(e^{- x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2}))}{h}$

Этап 4.6.5.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x}))}{h}$

$\frac{3 (e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5